Фракталы: что это такое и где они встречаются в природе
Фрактал - это фигура, у которой небольшой кусочек устроен так же, как вся фигура целиком, и это повторяется при любом увеличении. Такие формы описываются простыми формулами, встречаются повсюду в природе и стали одной из основ компьютерной 3D-графики.
Содержание
Самоподобие на простом примере
Поднимите с земли обломанную ветку. Её отростки и сучки складываются в маленькое дерево, а каждый отросток в ещё меньшее. Это свойство называют рекурсивным самоподобием: часть копирует целое. Именно поэтому формы, которые кажутся хаотичными, удаётся описать короткой математической процедурой, повторённой много раз.
Слово происходит от латинского fractus - "дроблёный, разбитый". Строгого общепринятого определения нет, обычно говорят о множестве, которое подобно самому себе на разных масштабах. Термин ввёл в 1975 году Бенуа Мандельброт, которого считают отцом фрактальной геометрии.
Как математики пришли к фракталам
Такие фигуры появлялись задолго до Мандельброта, но без компьютера их нельзя было толком увидеть, и они считались курьёзами.
| Год | Автор | Что предложил |
|---|---|---|
| 1872 | Карл Вейерштрасс | Непрерывная функция, которая нигде не имеет производной |
| 1904 | Хельге фон Кох | Кривая без касательных, из которой собирается "снежинка Коха" |
| 1918 | Гастон Жюлиа, Пьер Фату | Итерации комплексных функций, будущие множества Жюлиа |
| 1938 | Поль Леви | Статья о кривых, составленных из частей, подобных целому, и C-кривая Леви |
| 1975-1982 | Бенуа Мандельброт | Термин "фрактал" и книга "Фрактальная геометрия природы" |
Кривые Коха и Леви относят к геометрическим фракталам: их строят, раз за разом заменяя отрезок ломаной. Работы Жюлиа и Фату положили начало алгебраическим, или динамическим, фракталам. В 1918 году статья Жюлиа принесла ему известность, но затем о ней забыли почти на полвека.
Мандельброт и компьютер
Мандельброт работал в исследовательском центре IBM и занимался помехами при передаче данных. Он заметил, что график шумов выглядит одинаково за час, за день и за неделю. Сам он говорил, что играет не с формулами, а с картинками, и любую алгебраическую задачу переводил в геометрию.
Знаменитое множество Мандельброта строится так: берут число, подставляют в простую формулу, результат снова подставляют в ту же формулу, и так тысячи раз. Точки, где последовательность не улетает в бесконечность, входят в множество. Вручную такой объём вычислений невозможен, а компьютер справился. Точки вокруг множества раскрашивают по числу шагов, за которое последовательность "сбежала", и получается узнаваемый узор, в котором при увеличении бесконечно появляются новые завитки.
Фракталы в компьютерной графике и 3D
Коллеги критиковали Мандельброта за бесполезные красивые картинки, а ответ пришёл от художников. Лорен Карпентер, инженер Boeing и позже один из основателей Pixar, прочитал книгу Мандельброта и придумал, как рисовать на компьютере горы.
Его метод прост. Крупный треугольник делят на четыре меньших, вершины слегка смещают случайным образом, затем каждый новый треугольник снова делят на четыре. После нескольких проходов плоская сетка превращается в правдоподобный горный хребет. Первую картинку Карпентер получил за три дня.
- В 1980 году он показал на конференции SIGGRAPH ролик Vol Libre с полётом над фрактальными горами, после чего его пригласили в Lucasfilm.
- Там он создал планету для сцены "Генезис" в фильме "Звёздный путь 2: Гнев Хана".
- Тот же принцип до сих пор работает в генераторах ландшафтов Terragen, Vue и Bryce, в процедурных текстурах облаков, камня и воды.
Бывший физик Том Беддард построил трёхмерные "фракталы Фаберже", похожие на ювелирные яйца, и браузерную программу Fractal Lab на WebGL для их просмотра. Если интересно, чем визуализация отличается от съёмки, загляните в материал 3D-визуализация как вид компьютерной графики.
Какие есть фракталы в природе
Природа повторяет одну схему роста на разных масштабах, поэтому фракталы повсюду.
- Растения: кроны и корни деревьев, папоротник, жилки листа, ананас и капуста романеско, у которой каждый конус собран из меньших конусов.
- Животные: раковины моллюсков и улиток, перья павлиньего хвоста.
- Тело человека: кровеносные сосуды, бронхи, рисунок кожи под лупой.
- Неживая природа: облака, береговые линии, русла рек, молнии, снежинки и горные хребты.
Неожиданные применения
Фрактальные идеи ушли далеко за пределы геометрии. Американский музыкант Джонатан Колтон посвятил множеству Мандельброта целую песню и выкладывает свои работы под свободной лицензией Creative Commons. Трейдер Билл Вильямс придумал биржевой индикатор "фрактал": это группа из пяти свечей, где средняя показывает локальный максимум или минимум цены. Индикатор встроен почти во все торговые терминалы.
Частые вопросы
Здесь собраны ответы на типичные вопросы читателей.
Чем фрактал отличается от обычного узора
Обычный узор повторяется рядом, на одном масштабе. Фрактал повторяет себя внутри себя: при увеличении части вы снова видите ту же структуру.
Можно ли построить фрактал самому
Да. Снежинку Коха легко нарисовать на бумаге, а множество Мандельброта строят бесплатные программы и браузерные генераторы, где можно приближать узор сколько угодно.
